二分查找是用于有序序列的高效查找算法，平均时间复杂度为 lg(n)。

有序序列可分为单调不减，例如 1, 2, 3, 3, 3, 5；以及单调不增序列，例如 5, 3, 3, 3, 2, 1。

也就是说，序列中可以出现重复的值，但是值的大小只能往一个方向变化。

序列中可能存在多个目标值，查找方式有两种：找第一次出现的位置、找最后一次出现的位置。

找第一次出现的位置

我们这里以单调不减序列为例。

思路：当 mid 处的值大于或等于目标值时，将右边界左移；只有 mid 处的值明确小于目标值时，才被动将左边界右移，这样就能尽可能地让右边界往左移动。

由于 Java 语言（C、C++、Python 等也一样）的除法是自动向下取整，因此中间位置 mid 会偏向左边界 left，所以 right = mid 而不是 right = mid - 1。因为只要 left 和 right 不相等，right = mid 一定会较原来的 right 左移，这样可以确保范围不断缩小。

下面是最后一次循环的典型情况，目标值为 3，right 指针略过了大于或等于 3 的位置，直到第一个 3 处，此时 mid 由于向下取整，等于 left，经过判断，发现 mid 处的值为 2，比目标值小，因此 left = mid + 1，移动到了右侧的位置上。

最终 left 和 right 相等，循环结束，该位置就是目标值第一次出现的位置（如果存在该目标值的话）。

/**
 * @author: Wray Zheng
 * @date: 2018-04-06
 */
public static void binarySearchFirst(int[] arr, int target) {
    int left = 0;
    int right = arr.length - 1;
    int mid;

    while (left < right) {
        mid = left + (right - left) / 2;
        if (arr[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }

    if (arr[left] == target) return left;
    else return -1;
}

这里说一下，为什么 while 里的条件是 <，而不是 <=。一方面是我们想在循环外部判断最终的 left 位置是否是目标值，另一方面是如果循环条件允许 left = right，那么最后 mid = left = right，如果该处正好是目标值，那么 right 将始终等于 mid，不会再左移，就会陷入死循环。

找最后一次出现的位置

思路：当 mid 处的值小于或等于目标值时，将左边界右移；只有 mid 处的值明确大于目标值时，才被动将右边界左移，这样就能尽可能地让左边界往右移动。

虽然 Java 本身的除法是自动向下取整，但是我们可以先将被除数加一之后再做除法，这样就等价于向上取整，mid 会偏向右边界，因此 left = mid 可以确保左边界往右移动，缩小查找范围。

下面是最后一次循环的情况，目标值同样为 3，left 指针略过了小于等于 3 的位置，直到最后一个 3 处，mid 向上取整，等于 right，此时 mid 处的值为 5，比目标值大，因此 right = mid - 1，移动到左侧位置上。

于是，left 和 right 相等，循环终止，该位置就是目标值最后一次出现的位置。

/**
 * @author: Wray Zheng
 * @date: 2018-04-06
 */
public static void binarySearchLast(int[] arr, int target) {
    int left = 0;
    int right = ar.length - 1;
    int mid;

    while (left < right) {
        mid = left + (right - left + 1) / 2;
        if (arr[mid] > t) right = mid - 1;
        else left = mid;
    }

    if (arr[left] == target) return left;
    else return -1;
}

因为最后 left 和 right 相等，所以判断 arr[left] == target 和 arr[right] == target 是等价的。

对于单调不增序列

我相信讲完上面的例子，单调不增序列的情况我们都能按同样的逻辑分析出来了。

下面直接给出代码，不做赘述。

/**
 * @author: Wray Zheng
 * @date: 2018-04-06
 */
public static void binarySearchFirst(int[] arr, int target) {
    int left = 0;
    int right = arr.length - 1;
    int mid;

    while (left < right) {
        if (arr[mid] > t) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }

    if (arr[left] == target) return left;
    else return -1;
}

public static void binarySearchLast(int[] arr, int target) {
    int left = 0;
    int right = arr.length - 1;
    int mid;

    while (left < right) {
        if (arr[mid] < t) right = mid - 1;
        else left = mid;
    }

    if (arr[left] == target) return left;
    else return -1;
}

作者：Wray Zheng
原文：http://www.codebelief.com/article/2018/04/completely-understand-binary-search-and-its-boundary-cases/