栈的应用:四则运算表达式求值

1. 栈的特点

栈是计算机中非常基础而又极其重要的一种数据结构,许多算法的实现都离不开栈,它的特点是“先进后出”,也可以说“后进先出”。
打一个形象的比方:栈好比一个弹夹,最先放入的子弹只能最后打出;而最后放入的子弹则最先打出。

2. 中缀表达式和后缀表达式

我们生活中接触的表达式大部分都是中缀表达式,形如 a + b,这种表达式的特点是将运算符放在了操作数之间,优点是便于人的理解,缺点是需要明确各种运算符的优先级。

后缀表达式是将运算符放在两个操作数之后,形如 a b +,这种表达式对于计算机来说非常容易计算,因为只须从左往右运算即可,不必考虑运算符的优先级。因此在计算机的实际运算中,采用的是后缀表达式的形式。

3. 表达式求值思路

前面介绍了栈、中缀表达式以及后缀表达式的概念,现在我们就用栈这个数据结构来实现一个基本的算法——四则运算表达式的求值。下图是实现这一算法的总思路:

1. 第一遍扫描表达式时,遇到运算符则压入栈中,遇到操作数则按顺序取出,放入等待生成的后缀表达式中。
2. 若扫描运算符时遇到 ),说明栈中有 ( 与之配对,此时应依次弹出运算符,放入等待生成的后缀表达式中,直到 ( 从栈中弹出。
3. 若当前扫描的运算符优先级低于栈顶运算符的优先级,则应先弹出栈顶运算符,之后再把当前运算符压入栈中。

接下来,我们来看一个具体的例子。

4. 计算表达式 (a + b) * ( c + d)

4.1 中缀表达式转后缀表达式

4.2 计算后缀表达式

通过这个例子,我们看到了栈结构的优点:能够保存当前的数据状态,等下次要回过头来处理这一数据时时,可以回到之前的状态进行处理。

5. 思考题

看完了这一算法的基本实现,不妨思考下面几道题目用栈求值的过程。

1. (a + b) * c + d
2. a + (b * c)
3. a * b + c
4. a + b * (c + d)

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